热方程

Heat Equation
属于抛物型偏微分方程，描述了热量在物质中传导的规律，以及温度分布随时间和空间的演化。

• 它与薛定谔方程的形式如出一辙，只相差一个虚数的单位 𝑖;
• 布朗运动提供了它的解，温度越高，布朗运动越剧烈；
• 它可导出金融中的Black–Scholes期权价格模型;
• 它是扩散系数为常数的扩散方程(Diffusion equation);
• 它更是傅里叶级数之母，傅立叶为了研究它，发明了傅里叶级数，才有了今天的信号与通讯系统，才有了互联网传播的图片、视频和音频...
• 它被应用于图像分析和机器学习中，是图拉普拉斯算符和 Scale-space 理论背后的驱动力。

对于一个温度分布不均匀的物体，通过求解热方程可以知道它的温度如何随时间和空间的变化而变化，即温度 𝑢(𝑥,𝑡) 关于时间 𝑡 和空间 𝑥 的函数:

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}}={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x_1}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x_n}^2}}$
${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}}={\mathrm{\nabla }}^{2}u$
$u_t=u_{xx}$
可粗略的认为：温度分布不均的物体的某一点温度的变化速度 ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}}$ 取决于该点与相近点温度均值的差 ${\mathrm{\nabla }}^{2}u$